ATENCION

Debido a problemas de salud
NO podré asistir a las clases de hoy.
Duisculpen los inconvenientes que le puedo causar

 

Variable Aleatoria

Función de probabilidad

Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.

               P[ X = x_i ]

Así si la v.a. X toma los valores x₁,...,x_i,...,x_n la función de probabilidad asociada a cada x_i una probabilida p_i, verificándose siempre que p_i = 1
Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.

Resumido:
                                             

 

Función de densidad

Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.

Definimos  una función que verifica:

• 
• 

A esta función asociada a una v.a. continua se le llama función de densidad.
Ejemplos:

1. Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

• 
• 

2. Dada la función

determínese el valor de k para que f sea una función de densidad

Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2 

Función de distribución

Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a  tal que .
Si suponemos ordenados de  menor a mayor los valores que toma la v.a. x₀,x₁,...,x_i,...,x_n entonces

Propiedades:

• La funcion de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.
• Para todo x < x₀ F(x) = 0, siendo x₀ el menor de los valores que toma la v.a. X
• Para todo x > x_n F(x) = 1, siendo x_n el mayor valor que toma la v.a. X .
• F(x) es una función creciente (x < y => F(x) F(y) )
  Dados x < y
  - Si la v.a. no toma ningún valor entre ambos F(x)=F(y)
  - Si la v.a. toma algún valor entre ambos, supongamos que tomase k valores x_i+1,...,x_i+k ( cada P[ X = x_j ] ≥ 0 con j=i+1,...,i+k ) entonces
  F(y) = F(x) + P[ X = x_i+1 ]+ P[ X = x_i+2 ]+...++ P[ X = x_i+k ] y consecuentemente F(y) ≥ F(x).
  

Ejemplo:
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}. Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras y estudiemos su función de distribución.

Si x<0
Si
Si
Si
Si

   

En resumen	Gráficamente
0   si         x < 0 (1/8) si         0 ≤ x < 1 (1/2) si         1 ≤ x <2 (7/8) si         2 ≤ x <3 1   si         x ≥ 3

 

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Función de densidad de probabilidad

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ATENCION

DEBIDO A PROBLEMAS DE SALUD.
NO PODRÉ ASISTIR A LA CLASE PAUTADA
PARA MAÑANA 09 DE MARZO DEL 2015.
DISCULPEN EL INCONVENIENTE QUE LES PUEDA CAUSAR.

Ejercicios resueltos

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Solución:

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

, es la mayor.

2) En cierta planta de montaje, tres máquinas BBB, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es defectuoso, ¿ cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la máquina B?
Solución:
Considere los eventos siguientes:
A: el producto está defectuoso,
B: el producto está ensamblado por la máquina B.
B: el producto está ensamblado por la máquina B.
B: el producto está ensamblado por la máquina B.
Al aplicar el teorema, podemos escribir:

De los datos del problema sabemos que:

Entonces:

Así, al seleccionar de forma aleatoria un producto terminado y encontrar que es defectuoso, la probabilidad de que esté haya sido ensamblado por la máquina B es del 20%.

3)  Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se extraen 2 tornillos al azar, encontrar la probabilidad de que los dos sean defectuosos.

Solución

Definimos los eventos:

A = {x | x es el primer tornillo extraído es defectuoso}

B = {x | x es el segundo tornillo extraído es defectuoso}

De acuerdo a estas definiciones, para el primer tornillo extraído se tiene que P(A) = . Como ya se extrajo un tornillo defectuoso, las condiciones para extraer el segundo tornillo son que hay 24 tornillos, de los cuales 3 son defectuosos, por lo que P(B | A) = . Utilizando la Regla de Multiplicación tenemos:

P(A Ç B) = P(A) P(B | A) =   = 0.02

4)    Se tiene una urna que contiene 4 canicas verdes y 6 rojas. Si se extraen 2 canicas sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda verde?.

Solución

Sean lo eventos:

C = {x | x la primera canica es roja}

D = {x | x la segunda canica es verde}

En total hay 10 canicas, por lo que para la primera canica que se extrae se tiene que . En el momento de extraer la segunda canica hay 9 canicas en la urna, de las cuales 4 son verdes, por lo que . Aplicando la Regla de multiplicación queda:

     

5)  Una fábrica produce 2 tipos  de reguladores: del tipo A y del tipo B. El 75% de la producción es del tipo A y el 25% del tipo B. Se sabe que el 95% de los reguladores del tipo A funcionan bien y el 98% de los del tipo B también funcionan bien. Si se selecciona un regulador al azar de la producción  de la fábrica ¿Cuál es la probabilidad de que funcione bien?.

Solución

Definamos el evento F como el regulador funcione bien. Los datos que tenemos son:

P(A) = 0.75,    P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25,    P(F | B) = 0.98.

Aplicando el Teorema de Probabilidad Total tenemos que:

P(F) = P(A) P(F | A) + P(B) P(F | B) = (0.75)(0.95) + (0.25)(0.98) = 0.9575

7) Se sabe que el 32% de los habitantes de una ciudad que tiene más de 50 años de edad son hipertensos. Sale al mercado un aparato nuevo para medir la presión arterial, el cual marca hipertensión en el 99.5% de las personas que son hipertensas y también marca hipertensión en el 0.8% de las personas que no son hipertensas. Si se selecciona una persona al azar de más de 50 años de los que utilizan ese aparato ¿Cuál es la probabilidad de que marque hipertensión?.

Solución

Sean los eventos:

A = {x | x es un habitante de la ciudad hipertenso que tiene más de 50 años}

B = {x | x es un habitante de la ciudad no hipertenso que tiene más de 50 años}

M = {x | x es el aparato marca hipertensión}

De acuerdo a los datos del problema tenemos que:

P(A) = 0.32,    P(M | A) = 0.995,

P(B) = 0.68,    P(M | B) = 0.008.

Mediante el Teorema de Probabilidad Total se tiene:

P(M) = P(A) P(M | A) + P(B) P(M | B) = (0.32)(0.995) + (0.68)(0.008) = 0.3238

 

 

8)  Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

9)  A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H:    Sea un  hombre

M:   Sea una mujer

E:         La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

               

               

Por lo tanto: