1) Una compañía de transporte
público tiene tres líneas en una ciudad, de forma
que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea
1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de
la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que,
diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y
1% respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un
autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un
autobús no sufra una avería
c) ¿De qué línea de transporte es
más probable que un autobús sufra una
avería?
Solución:
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un
autobús sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se
obtiene:
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un
autobús no sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se
obtiene:
c) ¿De qué línea de transporte es
más probable que un autobús sufra una
avería?
Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori
empleando el Teorema de Bayes
La probabilidad de que sea de la línea 1,
sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 2,
sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 3,
sabiendo que sufre una avería es:
Entonces, sabiendo que el autobús sufre una
avería, lo más probable es que sea de la
línea 1, ya que esta probabilidad
, es la mayor.
2) En cierta planta de montaje, tres máquinas
B
B
B
,
montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la
experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada
máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se
selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es
defectuoso, ¿ cuál es la probabilidad de que esté ensamblado
por la máquina
B
?
Solución:
Considere los eventos siguientes:
A: el producto está defectuoso,
B
:
el producto está ensamblado por la máquina
B
.
B
:
el producto está ensamblado por la máquina
B
.
B
:
el producto está ensamblado por la máquina
B
.
Al aplicar el teorema, podemos escribir:
De los datos del problema sabemos que:
Entonces:
Así, al seleccionar de forma aleatoria un producto terminado y encontrar
que es defectuoso, la probabilidad de que esté haya sido ensamblado por
la máquina
B
es del 20%.
3) Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son
defectuosos. Si se extraen 2 tornillos al azar, encontrar la probabilidad de
que los dos sean defectuosos.
Solución
Definimos los eventos:
A = {x | x es el primer
tornillo extraído es defectuoso}
B = {x | x es el segundo
tornillo extraído es defectuoso}
De acuerdo a
estas definiciones, para el primer tornillo extraído se tiene que P(A) =
. Como ya se extrajo un tornillo defectuoso, las
condiciones para extraer el segundo tornillo son que hay 24 tornillos, de los
cuales 3 son defectuosos, por lo que
P(B | A) =
. Utilizando la Regla de Multiplicación tenemos:
P(A Ç B) = P(A) P(B | A) = = 0.02
4) Se tiene una urna que contiene 4 canicas verdes y 6
rojas. Si se extraen 2 canicas sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que
la primera sea roja y la segunda verde?.
Solución
Sean lo eventos:
C = {x | x la primera canica
es roja}
D = {x | x la segunda canica
es verde}
En total hay
10 canicas, por lo que para la primera canica que se extrae se tiene que
. En el momento de extraer la segunda canica hay 9 canicas
en la urna, de las cuales 4 son verdes, por lo que
. Aplicando la Regla de multiplicación queda:
5) Una fábrica produce 2 tipos de reguladores: del tipo A y del tipo B. El
75% de la producción es del tipo A y el 25% del tipo B. Se sabe que el 95% de
los reguladores del tipo A funcionan bien y el 98% de los del tipo B también
funcionan bien. Si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica ¿Cuál es la probabilidad de
que funcione bien?.
Solución
Definamos el
evento F como el regulador funcione bien. Los datos que tenemos son:
P(A) = 0.75, P(F
| A) = 0.95
P(B) = 0.25, P(F
| B) = 0.98.
Aplicando el
Teorema de Probabilidad Total tenemos que:
P(F) = P(A) P(F | A) + P(B) P(F | B) = (0.75)(0.95) + (0.25)(0.98) =
0.9575
7) Se sabe que el 32% de los habitantes de una ciudad
que tiene más de 50 años de edad son hipertensos. Sale al mercado un aparato
nuevo para medir la presión arterial, el cual marca hipertensión en el 99.5%
de las personas que son hipertensas y también marca hipertensión en el 0.8%
de las personas que no son hipertensas. Si se selecciona una persona al azar
de más de 50 años de los que utilizan ese aparato ¿Cuál es la probabilidad de
que marque hipertensión?.
Solución
Sean los eventos:
A = {x | x es un habitante
de la ciudad hipertenso que tiene más de 50 años}
B = {x | x es un habitante
de la ciudad no hipertenso que tiene más de 50 años}
M = {x | x es el aparato
marca hipertensión}
De acuerdo a los datos del
problema tenemos que:
P(A) = 0.32, P(M
| A) = 0.995,
P(B) = 0.68, P(M
| B) = 0.008.
Mediante el Teorema de
Probabilidad Total se tiene:
P(M) = P(A) P(M | A) + P(B) P(M | B) =
(0.32)(0.995) + (0.68)(0.008) = 0.3238
8) Una fábrica que produce
material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A,
B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina
A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el
20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas
son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se
observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.
Solución
Definamos el
evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:
P(A) =
0.5 P(D | A) = 0.03
P(B) =
0.3 P(D | B) = 0.04
P(C) =
0.2 P(D | C) = 0.05
Si el
artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa
que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución
solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición
esta característica. Por lo tanto:
9) A un congreso asisten 100
personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10%
de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se
selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad
de que sea mujer?
Solución
Definamos los eventos:
H: Sea un hombre
M: Sea una mujer
E: La persona
sea especialista en computación
Tenemos que:
Por lo tanto:
