Variable Aleatoria

Función de probabilidad

Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.

P[ X = x_i]

Así si la v.a. X toma los valores x₁,...,x_i,...,x_n la función de probabilidad asociada a cada x_i una probabilida p_i, verificándose siempre que

p_i = 1
Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:

= {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.

Resumido:

Función de densidad

Según la definición, una v.a. continua puede tomar un número infinito no numerable de puntos, la probabilidad que hemos de asignarle a cada valor de la variable estará en [0,1] con la condición de que la suma de todas las probabilidades es 1, como hay un número infinito no numerable de valores con masa, ésta es desplecible por lo que se dice que no tienen masa
P[X = x] = 0.

Definimos

una función que verifica:

A esta función asociada a una v.a. continua se le llama función de densidad.
Ejemplos:

1. Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

2. Dada la función

determínese el valor de k para que f sea una función de densidad

Atendiendo a la definición de la función de densidad, para que f sea función de densidad 3 + k = 1 , sin más que despejar en la ecuación se deduce que k = -2

Función de distribución

Dada X v.a. discreta llamaremos función de distribución de X a

tal que

.
Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la v.a. x₀,x₁,...,x_i,...,x_n entonces

Propiedades:

La funcion de distribución toma valores comprendidos entre 0 y 1.
Para todo x < x₀ F(x) = 0, siendo x₀ el menor de los valores que toma la v.a. X
Para todo x > x_n F(x) = 1, siendo x_n el mayor valor que toma la v.a. X .
F(x) es una función creciente (x < y => F(x) F(y) )
Dados x < y
- Si la v.a. no toma ningún valor entre ambos F(x)=F(y)
- Si la v.a. toma algún valor entre ambos, supongamos que tomase k valores x_i+1,...,x_i+k ( cada P[ X = x_j] ≥ 0 con j=i+1,...,i+k ) entonces
F(y) = F(x) + P[ X = x_i+1]+ P[ X = x_i+2]+...++ P[ X = x_i+k] y consecuentemente F(y) ≥ F(x).