Ejercicios resueltos

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Solución:

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

, es la mayor.

2) En cierta planta de montaje, tres máquinas BBB, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es defectuoso, ¿ cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la máquina B?
Solución:
Considere los eventos siguientes:
A: el producto está defectuoso,
B: el producto está ensamblado por la máquina B.
B: el producto está ensamblado por la máquina B.
B: el producto está ensamblado por la máquina B.
Al aplicar el teorema, podemos escribir:

De los datos del problema sabemos que:

Entonces:

Así, al seleccionar de forma aleatoria un producto terminado y encontrar que es defectuoso, la probabilidad de que esté haya sido ensamblado por la máquina B es del 20%.

3)  Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se extraen 2 tornillos al azar, encontrar la probabilidad de que los dos sean defectuosos.

Solución

Definimos los eventos:

A = {x | x es el primer tornillo extraído es defectuoso}

B = {x | x es el segundo tornillo extraído es defectuoso}

De acuerdo a estas definiciones, para el primer tornillo extraído se tiene que P(A) = . Como ya se extrajo un tornillo defectuoso, las condiciones para extraer el segundo tornillo son que hay 24 tornillos, de los cuales 3 son defectuosos, por lo que P(B | A) = . Utilizando la Regla de Multiplicación tenemos:

P(A Ç B) = P(A) P(B | A) =   = 0.02

4)    Se tiene una urna que contiene 4 canicas verdes y 6 rojas. Si se extraen 2 canicas sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda verde?.

Solución

Sean lo eventos:

C = {x | x la primera canica es roja}

D = {x | x la segunda canica es verde}

En total hay 10 canicas, por lo que para la primera canica que se extrae se tiene que . En el momento de extraer la segunda canica hay 9 canicas en la urna, de las cuales 4 son verdes, por lo que . Aplicando la Regla de multiplicación queda:

     

5)  Una fábrica produce 2 tipos  de reguladores: del tipo A y del tipo B. El 75% de la producción es del tipo A y el 25% del tipo B. Se sabe que el 95% de los reguladores del tipo A funcionan bien y el 98% de los del tipo B también funcionan bien. Si se selecciona un regulador al azar de la producción  de la fábrica ¿Cuál es la probabilidad de que funcione bien?.

Solución

Definamos el evento F como el regulador funcione bien. Los datos que tenemos son:

P(A) = 0.75,    P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25,    P(F | B) = 0.98.

Aplicando el Teorema de Probabilidad Total tenemos que:

P(F) = P(A) P(F | A) + P(B) P(F | B) = (0.75)(0.95) + (0.25)(0.98) = 0.9575

7) Se sabe que el 32% de los habitantes de una ciudad que tiene más de 50 años de edad son hipertensos. Sale al mercado un aparato nuevo para medir la presión arterial, el cual marca hipertensión en el 99.5% de las personas que son hipertensas y también marca hipertensión en el 0.8% de las personas que no son hipertensas. Si se selecciona una persona al azar de más de 50 años de los que utilizan ese aparato ¿Cuál es la probabilidad de que marque hipertensión?.

Solución

Sean los eventos:

A = {x | x es un habitante de la ciudad hipertenso que tiene más de 50 años}

B = {x | x es un habitante de la ciudad no hipertenso que tiene más de 50 años}

M = {x | x es el aparato marca hipertensión}

De acuerdo a los datos del problema tenemos que:

P(A) = 0.32,    P(M | A) = 0.995,

P(B) = 0.68,    P(M | B) = 0.008.

Mediante el Teorema de Probabilidad Total se tiene:

P(M) = P(A) P(M | A) + P(B) P(M | B) = (0.32)(0.995) + (0.68)(0.008) = 0.3238

 

 

8)  Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

9)  A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H:    Sea un  hombre

M:   Sea una mujer

E:         La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

               

               

Por lo tanto:

Libros de estadistica

Libro 1 : PROBABILIDADYESTADISTICA  

Libro 2 :   Estadistica

Libro 3:  Estadistica y Probabilidad

Libro 4:  Curso elemental de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Libro 5:  Probabilidad y Estadıstica Elementales para Estudiantes de Ciencias  

Bibliografía recomendada

1. Canavos, G. (1997). “Probabilidad y Estadística”. México McGraw-Hill/Interaméricana.
2. Mendenhall, W. (1997). “Introducción a la Probabilidad y Estadística”. México. McGraw – Hill/Interamericana.
3. Miller, I. (1996). “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”. Prentice Hall/Hispanoaméricaca.
4. Scheaffer, G. (1995). “Probabilidad”. México. McGraw – Hill/Interamericana.
5. Walpole, R. (1997). “Probabilidad y Estadística para Ingenieros”. México. Prentice Hall – Hispanoamérica.
6. Murray, Spiegel (1975) Probabilidad y Estadística: Teoría y problemas resueltos. Serie Schaum. México McGraw-Hill/Interaméricana

Fechas de Evaluaciones

Evaluación uno:   02-03-2015

Evaluación dos:   23-03-2015

Evaluación tres:   20-04-2015

Evaluación cuatro:   18-05-2015

Contenido programático

                 CONTENIDO

UNIDAD 1. TEORÍA DE PROBABILIDADES
1.1. Definición de experimento aleatorio.
1.2. Definición de espacio muestral.
1.3. Definición de eventos mutuamente excluyentes.
1.4. Principio de multiplicación y adición.
1.5. Probabilidad condicional.
1.6. Teorema de multiplicación de probabilidad.
1.7. Sucesos independientes.
1.8. Teoremas de Bayes.

UNIDAD 2. VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
2.1. Definición de variable aleatoria.
2.2. Variables aleatorias discretas.
2.3. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
2.4. Variables aleatorias continuas.
2.5. Función de densidad de una variable aleatoria continua.
2.6. Función de distribución para variables continuas y discretas.
2.7. Definición de esperanza matemática para variables discretas y continuas.
2.8. Propiedades de la esperanza matemática.
2.9. Varianza de una variable aleatoria.
2.10. Momentos de una variable aleatoria.
2.11. Función generatriz de momentos.

UNIDAD 3. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES.
3.1. Función de densidad conjunta.
3.2. Función de densidad marginal.
3.3. Función de densidad condicional, valor esperado condicional.
3.4. Variables aleatorias independientes.
3.5. Esperanza matemática de funciones de varias variables aleatorias
3.6. Extensión al caso n-dimensional.

UNIDAD 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
4.1 Distribuciones de variables aleatorias discretas.
4.2 Distribución Binomial.
4.3 Esperanza matemática y varianza de la distribución Binomial.
4.4 Distribución de Poisson.
4.5 Esperanza matemática y varianza de la distribución de Poisson.
4.6 Distribución geométrica.
4.7 Esperanza matemática y varianza de la distribución geométrica.
4.8 Distribución hipergeométrica.
4.9 Esperanza matemática y varianza de la distribución hipergeométrica.
4.10 Distribuciones de variables aleatorias continuas.
4.11 Distribución Uniforme.
4.12 Esperanza matemática y varianza de la distribución uniforme.
4.13 Distribución Exponencial.
4.14 Esperanza matemática y varianza de la distribución Exponencial.
4.15 Distribución Gamma.
4.16 Esperanza matemática y varianza de la distribución Gamma.
4.17 Distribución normal.
4.18 Esperanza matemática y varianza de la distribución normal.
4.19 Distribución χ² de Pearson.
4.20 Esperanza matemática y varianza.

UNIDAD 5: LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL.
5.1 Desigualdad de Chebychev.
5.2 Ley de los Grandes Números.
5.3 Teorema del Límite Central.

UNIDAD 6: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA.
6.1 Definición de estadística.
6.2 Población y muestra.
6.3 Distribución de frecuencias.
6.4 Construcción de una distribución de frecuencias.
6.5 Estadística y parámetros.
6.6 Estadísticos muy importantes (media, varianza, desviación típica).
6.7 Cálculo de media, varianza y desviación típica para datos agrupados y no agrupados.

UNIDAD 7: DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO.
7.1 La teoría del muestreo como base de la estadística Inferencial.
7.2 Muestreo al azar.
7.3 Distribución χ², distribución “T” de STUDENT.
7.4 Distribución “F” de “FISCHER”.
7.5 Distribución muestral de la media aritmética.
7.6 Diferencia de medias.
7.7 El error estándar.

UNIDAD 8. TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN.
8.1 La estimación: Definición.
8.2 Estimaciones locales o de punto, sus propiedades.
8.3 Estimaciones por intervalos.
8.4 Intervalos de confianza.

UNIDAD 9. PRUEBAS DE HIPÓTESIS.
9.1 La prueba de hipótesis.
9.2 Hipótesis estadística.
9.3 Hipótesis nula.
9.4 Errores tipo I y II.
9.5 Nivel de significación.
9.6 Ilustración de las zonas de rechazo de una hipótesis nula.
9.7 Prueba estadística.
9.8 Pruebas estadística que involucran medias y varianza.

UNIDAD 10. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN.
10.1 Análisis de correlación para dos (02) variables: Definición, cálculo, significación estadística.
10.2 Análisis de regresión para dos (02) variables: Definición, cálculo, significación estadística.